modul matrix part 1

BAB I

PENDAHULUAN

A.      Deskripsi

Dalam modul ini anda akan mempelajari pengertian matriks, notasi matriks, baris kolom, elemen dan ordo matriks, jenis-jenis matriks, kesamaan matriks, tranpose matriks. Anda juga mempelajari bagaimana menyelesaikan operasi matriks: penjumlahan, dan pengurangan, perkalian skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan matriks, determinan matriks, minor, kofaktor dan adjoin matriks dan invers matriks. Terakhir, anda akan mempelajari penyelesaian sistem persamaan linier dengan menggunakan matriks.

B.       Prasyarat

Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah anda harus sudah mempelajari persamaan serta operasi pada bilangan real. Semua materi prasyarat tersebut terdapat dalam modul persamaan dan pertidaksamaan dan bilangan real.

C.      Petunjuk Penggunaan Modul

1.      Penjelasan Bagi Peserta Didik

a.    Baca dan pelajari materi secara keseluruhan dan tuntas.

b.    Bila mendapat kesulitan dalam memahami kata-kata atau istilah yang terdapat dalam modul, lihatlah glosarium pada modul ini.

c.    Tanyakan pada guru jika terdapat materi yang sulit dipahami.

d.   Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

e.    Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat.

f.     Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

2.      Penjelasan Bagi Guru

a.    Bantulah siswa dalam merencanakan proses belajar, mengerjakan soal-soal latihan dan pemahaman konsep-konsep baru.

b.    Jika siswa mengalami kesulitan dalam memahami materi, anjurkan untuk mengulangi mempelajari modul ini.

c.    Rencanakan proses penilaian dan mencatat kemajuan siswa.

D.      Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini, diharapkan siswa dapat:

1. Memahami pengertian matriks, notasi matriks, baris kolom, elemen dan ordo matriks, jenis-jenis matriks, kesamaan matriks, tranpose matriks.
2. Menyelesaikan operasi matriks: penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan matriks,
3. Menentukan determinan matriks, minor, kofaktor, adjoin matriks dan invers matriks.
4. Menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan matriks.

E.       Standar kompetensi

Kompetensi                      : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep matriks

Program keahlian              :

Kode                                 : G 4

Durasi pembelajaran         : 35 x 45 menit

KD	Kriteria Kinerja	Materi Pembelajaran	Kegiatan Pembelajaran
4.1      Mendeskripsikan macam-macam matriks	§ Menentukan unsur-unsur dan notasi Matriks § Membedakan matriks menurut jenis dan relasinya	§ Macam-macam matriks	§ Menjelaskan pengertian matriks, notasi matriks, baris, kolom, elemen dan ordo matriks § Membedakan jenis-jenis matriks § Menjelaskan kesamaan matriks Menjelaskan transpose matriks
4.2      Menyelesaikan operasi matriks	§ Menentukan penjumlahan atau pengurangan dua matriks atau lebih  § Menentukan hasil kali dua matriks atau lebih	§ Operasi matriks	§ Menjelaskan operasi matriks antara lain: -    penjumlahan dan pengurangan § Menjelaskan operasi matriks antara lain: -    perkalian skalar dengan matriks -    perkalian matriks dengan matriks § Menyelesaikan penjumlahan, pengurangan, dan/atau perkalian matriks § Menyelesaikan kesamaan matriks menggunakan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks
4.3      Menentukan determinan dan invers	§ Menentukan determinan matriks § Menentukan invers matriks	§ Determinan dan Invers matriks	§ Menjelaskan pengertian determinan matriks § Menentukan determinan dan invers matriks ordo 2 § Menjelaskan pengertian Minor, kofaktor dan adjoin matriks § Menentukan determinan dan invers matriks ordo 3 § Menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan matriks

F.       Cek Kemampuan Awal

Kerjakanlah soal-soal berikut ini. Jika anda merasa dapat mengerjakan

semua soal berikut ini, maka anda dapat langsung mengerjakan soal-soal berikut.

1. Apakah yang dimaksud dengan matriks?

2. Kapankah dua matriks dikatakan sama?

3. Tentukan tranpos dari matriks A =

4. Jika A =  dan B = , maka hitung A + B

5. Jika A =; B =, hitung A x B

6. Tentukan determinan matriks M =

BAB II

PEMBELAJARAN

A.      Rencana Belajar Siswa

Kompetensi          : Menerapkan konsep matriks.

Sub Kompetensi   : - Mendeskripsikan macam-macam matriks

  - Menyelesaikan operasi matriks

  - Menentukan determinan dan invers

Tulislah semua jenis kegiatan yang anda lakukan di dalam tabel kegiatan di

bawah ini. Jika ada perubahan dari rencana semula, berilah alasannya

kemudian meminta tangan kepada guru atau instruktur anda.

Kegiatan	Tanggal	Waktu	Tempat belajar	Alasan Perubahan	TTD Guru

B.       Kegiatan Belajar

1.      Kegiatan Belajar 1

a.      Tujuan kegiatan pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat:

1)      Menjelaskan pengertian matriks, notasi matriks, baris, kolom, elemen dan ordo matriks

2)      Membedakan jenis-jenis matriks

3)      Menjelaskan kesamaan matriks

4)      Menjelaskan transpose matriks

b.      Uraian Materi

Pengertian Matriks

1.    Pengertian dan Notasi Matriks

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berebentuk persegi panjang. Susunan bilangan-bilangan itu  dibatasi oleh kurva biasa “(  )” atau kurung siku “[  ]”

Contoh : A =

Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf besar dan ditulis secara umum sebagai berikut:

 

                                                                                        kolom ke-n

                                                                                        kolom ke-2

                                                                                         kolom ke-1

A_mxn artinya matriks A mempunyai baris sebanyak m dan mempunyai kolom sebanyak n. Setiap bilangan yang terdapat pada baris dan kolom dinamakan anggota atau elemen matriks dan diberi nama sesuai dengan nama baris dan nama kolom serta dinotasikan dengan huruf kecil sesuai dengan nama matriknya.

a₁₁ = elemen baris pertama kolom pertama.

a₁₂ = elemen baris pertama kolom kedua.

a_1n = elemen baris pertama kolom ke-n.

a₂₁ = elemen baris kedua kolom pertama.

a₂₂ = elemen baris kedua kolom kedua.

a_2n = elemen baris kedua kolom ke-n.

a_m1 = elemen baris ke-m kolom pertama.

a_m2 = elemen baris ke-m kolom kedua.

a_mn = elemen baris ke-m kolom ke-n.

Contoh: A =

6 = elemen baris ketiga kolom kedua (a₃₂).

5 = elemen baris kedua kolom kedua (a₂₂).

9 = elemen baris kedua kolom ketiga (a₂₃).

10 = elemen baris ketiga kolom ketiga (a₃₃).

dan seterusnya.

2.     Ordo Matriks

Ordo suatu matriks adalah banyaknya baris dan kolom dari sebuah matriks. Suatu matriks berordo (m x n) jika matriks tersebut memiliki m baris dan n kolom.

Contoh: A = ; A berordo 2x2 atau A_2x2, karena matriks A terdiri atas 2 buah baris dn 2 buah kolom.

B =  ; B berordo 2x3 atau B_2x3, karena matriks B terdiri atas 2 buah baris dn 3 buah kolom.

C =  ; C berordo 3x1 atau C_3x1, karena matriks C terdiri atas 3 buah baris dn 1 buah kolom.

D = ( 6  7  8 ) ; D berordo 1x3 atau D_1x3, karena matriks D terdiri atas 1 buah baris dn 3 buah kolom.

Macam-Macam Matriks

1.        Matriks nol

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol, dilambangkan dengan “O”.

Contoh: O_2x2 =                                   O_2x3 =

2.        Matriks bujur sangkar (persegi)

Matriks bujur sangkar (persegi) adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.

Contoh: A =                           B =

3.        Matriks baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris.

Contoh: A = ( 2  5 )                            B = ( 1  2  3  5 )

4.        Matriks kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom.

Contoh: A =                     C =                       D =

5.        Matriks identitas.

Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen-elemen pada diagonal utamanya 1 dan elemen-elemen yang lainnya nol.  Matriks identitas dilambangkan dengan “I” .

Contoh: I₂ =                           I₃ =

 Kesamaan Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama jika kedua matriks itu berordo sama dan elemen-elemen yang seletak besarnya sama.

Contoh:

1)      Jika A =  dan B =  maka dikatakan A = B.

2)      Jika M =  dan N =  maka dikatakan M = N.

3)      Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut.

                      

penyelesaian :

·      a = 7

·      a + b = 4

7+ b = 4

 b = 4 – 7

b = - 3

Jadi nilai a = 7 dan nilai b = -3

Transpose Matriks

Transpos suatu matriks adalah matriks baru yang diperoleh dengan mengubah susunan kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom. Jika diketahui matriks A berordo mxn maka transpose matriks A dilambangkan dengan A^t berordo nxm.

Contoh:

A =  maka matriks transposnya A^t =

c.       Rangkuman

1)   Jenis-jenis matriks adalah  matriks nol, matriks baris, matriks kolom, matriks persegi.

2)  Matriks persegi terdiri dari matriks identitas, matriks atas, matriks bawah, matriks diagonal.

3)  Matriks tranpose adalah suatu matriks yang diperoleh dari perpindahan baris pada matriks A menjadi kolom pada matriks A^t.