BAB I
PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini anda
akan mempelajari pengertian matriks, notasi matriks, baris kolom, elemen dan
ordo matriks, jenis-jenis matriks, kesamaan matriks, tranpose matriks. Anda
juga mempelajari bagaimana menyelesaikan operasi matriks: penjumlahan, dan
pengurangan, perkalian skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan matriks,
determinan matriks, minor, kofaktor dan adjoin matriks dan invers matriks. Terakhir,
anda akan mempelajari penyelesaian sistem persamaan linier dengan menggunakan
matriks.
B. Prasyarat
Prasyarat untuk
mempelajari modul ini adalah anda harus sudah mempelajari persamaan serta
operasi pada bilangan real. Semua materi prasyarat tersebut terdapat dalam
modul persamaan dan pertidaksamaan dan bilangan real.
C.
Petunjuk Penggunaan Modul
1. Penjelasan Bagi Peserta Didik
a. Baca
dan pelajari materi secara keseluruhan dan tuntas.
b. Bila
mendapat kesulitan dalam memahami kata-kata atau istilah yang terdapat dalam
modul, lihatlah glosarium pada modul ini.
c. Tanyakan
pada guru jika terdapat materi yang sulit dipahami.
d. Pahamilah
contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika
dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi
yang terkait.
e. Kerjakanlah
soal evaluasi dengan cermat.
f. Jika
Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian
tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain
yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda
juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.
2.
Penjelasan Bagi Guru
a.
Bantulah siswa dalam merencanakan proses
belajar, mengerjakan soal-soal latihan dan pemahaman konsep-konsep baru.
b.
Jika siswa mengalami kesulitan dalam
memahami materi, anjurkan untuk mengulangi mempelajari modul ini.
c.
Rencanakan proses penilaian dan mencatat
kemajuan siswa.
D.
Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini, diharapkan siswa dapat:
- Memahami pengertian matriks, notasi matriks,
baris kolom, elemen dan ordo matriks, jenis-jenis matriks, kesamaan
matriks, tranpose matriks.
- Menyelesaikan operasi matriks: penjumlahan, pengurangan,
perkalian skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan matriks,
- Menentukan determinan matriks, minor, kofaktor, adjoin
matriks dan invers matriks.
- Menyelesaikan sistem persamaan linier dengan
menggunakan matriks.
E.
Standar kompetensi
Program keahlian :
Kode : G 4
Durasi pembelajaran :
35
x 45 menit
KD
|
Kriteria
Kinerja
|
Materi
Pembelajaran
|
Kegiatan
Pembelajaran
|
4.1
Mendeskripsikan
macam-macam matriks
|
§
Menentukan
unsur-unsur dan notasi Matriks
§ Membedakan matriks menurut
jenis dan relasinya
|
§ Macam-macam matriks
|
§ Menjelaskan
pengertian matriks, notasi matriks, baris, kolom, elemen dan ordo matriks
§ Membedakan
jenis-jenis matriks
§ Menjelaskan
kesamaan matriks
Menjelaskan
transpose matriks
|
4.2
Menyelesaikan
operasi matriks
|
§ Menentukan
penjumlahan atau pengurangan dua matriks atau lebih
§ Menentukan
hasil kali dua matriks atau lebih
|
§ Operasi matriks
|
§ Menjelaskan
operasi matriks antara lain:
- penjumlahan
dan pengurangan
§ Menjelaskan
operasi matriks antara lain:
- perkalian
skalar dengan matriks
- perkalian
matriks dengan matriks
§ Menyelesaikan
penjumlahan, pengurangan, dan/atau perkalian matriks
§ Menyelesaikan
kesamaan matriks menggunakan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks
|
4.3
Menentukan
determinan dan invers
|
§ Menentukan
determinan matriks
§ Menentukan
invers matriks
|
§ Determinan
dan Invers matriks
|
§ Menjelaskan
pengertian determinan matriks
§ Menentukan
determinan dan invers matriks ordo 2
§ Menjelaskan
pengertian Minor, kofaktor dan adjoin matriks
§ Menentukan
determinan dan invers matriks ordo 3
§ Menyelesaikan
sistem persamaan linier dengan menggunakan matriks
|
F.
Cek Kemampuan Awal
Kerjakanlah soal-soal berikut ini. Jika anda merasa
dapat mengerjakan
semua soal berikut ini, maka anda dapat langsung
mengerjakan soal-soal berikut.
1. Apakah yang dimaksud dengan matriks?
2. Kapankah dua matriks dikatakan sama?
3. Tentukan tranpos dari matriks A =
4. Jika A = dan
B = , maka hitung A + B
5. Jika A =; B =, hitung A x B
6. Tentukan determinan matriks M =
BAB II
PEMBELAJARAN
A. Rencana
Belajar Siswa
Kompetensi :
Menerapkan konsep matriks.
Sub Kompetensi :
- Mendeskripsikan macam-macam matriks
- Menyelesaikan operasi matriks
- Menentukan determinan dan invers
Tulislah semua jenis kegiatan yang anda lakukan di
dalam tabel kegiatan di
bawah ini. Jika ada perubahan dari rencana semula,
berilah alasannya
kemudian meminta tangan kepada guru atau instruktur
anda.
Kegiatan
|
Tanggal
|
Waktu
|
Tempat belajar
|
Alasan
Perubahan
|
TTD Guru
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B. Kegiatan
Belajar
1. Kegiatan
Belajar 1
a.
Tujuan kegiatan pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan
siswa dapat:
1)
Menjelaskan
pengertian matriks, notasi matriks, baris, kolom, elemen dan ordo matriks
2)
Membedakan
jenis-jenis matriks
3)
Menjelaskan
kesamaan matriks
4)
Menjelaskan
transpose matriks
b.
Uraian Materi
Pengertian Matriks
1. Pengertian dan Notasi Matriks
Matriks adalah
susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berebentuk persegi
panjang. Susunan bilangan-bilangan itu
dibatasi oleh kurva biasa “( )”
atau kurung siku “[ ]”
Contoh : A =
Suatu matriks
biasanya dinotasikan dengan huruf besar dan ditulis secara umum sebagai
berikut:
kolom ke-n
kolom ke-2
kolom ke-1
Amxn
artinya matriks A mempunyai baris sebanyak m dan mempunyai kolom sebanyak n.
Setiap bilangan yang terdapat pada baris dan kolom dinamakan anggota atau
elemen matriks dan diberi nama sesuai dengan nama baris dan nama kolom serta
dinotasikan dengan huruf kecil sesuai dengan nama matriknya.
a11
= elemen baris pertama kolom pertama.
a12
= elemen baris pertama kolom kedua.
a1n
= elemen baris pertama kolom ke-n.
a21
= elemen baris kedua kolom pertama.
a22
= elemen baris kedua kolom kedua.
a2n
= elemen baris kedua kolom ke-n.
am1
= elemen baris ke-m kolom pertama.
am2 =
elemen baris ke-m kolom kedua.
amn
= elemen baris ke-m kolom ke-n.
Contoh: A =
6 = elemen
baris ketiga kolom kedua (a32).
5 = elemen
baris kedua kolom kedua (a22).
9 = elemen
baris kedua kolom ketiga (a23).
10 = elemen
baris ketiga kolom ketiga (a33).
dan
seterusnya.
2.
Ordo Matriks
Ordo suatu
matriks adalah banyaknya baris
dan kolom dari sebuah matriks. Suatu matriks berordo (m x n) jika matriks
tersebut memiliki m baris dan n kolom.
Contoh: A = ; A berordo 2x2 atau A2x2, karena matriks A
terdiri atas 2 buah baris dn 2 buah kolom.
B = ; B berordo 2x3 atau B2x3, karena matriks B terdiri atas 2 buah baris dn 3 buah kolom.
C = ; C berordo 3x1 atau C3x1, karena matriks C terdiri atas 3 buah baris dn 1 buah kolom.
D = ( 6
7 8 ) ; D berordo 1x3 atau D1x3, karena matriks D terdiri atas 1 buah baris dn 3 buah kolom.
Macam-Macam Matriks
1.
Matriks nol
Matriks nol
adalah matriks yang semua elemennya nol, dilambangkan dengan “O”.
Contoh: O2x2
= O2x3
=
2.
Matriks bujur sangkar (persegi)
Matriks bujur
sangkar (persegi) adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.
Contoh: A = B
=
3.
Matriks baris
Matriks baris
adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris.
Contoh: A = (
2 5 ) B
= ( 1 2
3 5 )
4.
Matriks kolom
Matriks kolom
adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom.
Contoh: A = C = D
=
5.
Matriks identitas.
Matriks
identitas adalah matriks persegi yang
elemen-elemen pada diagonal utamanya 1 dan elemen-elemen yang lainnya nol. Matriks identitas dilambangkan dengan “I” .
Contoh: I2
= I3
=
Kesamaan Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama jika
kedua matriks itu berordo sama dan elemen-elemen yang seletak besarnya sama.
Contoh:
1)
Jika A = dan B = maka dikatakan A = B.
2)
Jika M = dan N = maka dikatakan M = N.
3) Tentukan nilai a dan b dari
kesamaan matriks berikut.
penyelesaian
:
·
a = 7
·
a + b = 4
7+ b = 4
b = 4 – 7
b = - 3
Jadi nilai
a = 7 dan nilai b = -3
Transpose Matriks
Transpos suatu matriks adalah matriks
baru yang diperoleh dengan mengubah susunan kolom menjadi baris dan baris
menjadi kolom. Jika diketahui matriks A berordo mxn maka transpose matriks A dilambangkan dengan At berordo nxm.
Contoh:
A = maka matriks
transposnya At =
c.
Rangkuman
1) Jenis-jenis matriks adalah matriks nol, matriks baris, matriks kolom, matriks
persegi.
2) Matriks
persegi terdiri dari matriks identitas, matriks atas, matriks bawah, matriks
diagonal.
3) Matriks
tranpose adalah suatu matriks yang diperoleh dari perpindahan baris pada
matriks A menjadi kolom pada matriks At.